Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.

1. Chứng minh: \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AB^2}\)

2. Biết số đo \(\widehat{MAN}=45^o\), CM + CN = 7cm, CM - CN = 1cm. Tính số đo \(\widehat{AMN}=?\)

3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI ( \(P\in IK,Q\in AK,R\in AI\)). Xác định vị trí điểm O để OP² + OQ² + OR² đạt giá trị nhỏ nhất. 

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M. Tia AM cắt đường thẳng DC tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I

a) CM:\(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AB^2}\)(đã làm )

b)Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP,OQ,OR lần lượt vuông góc với IK,AK,AI \(\left(P\in IK,Q\in AK,R\in AI\right)\). Xác định vị trí điểm O để OP²+OQ²+QR² có giá trị nhỏ nhất.

Cho hình vuông ABCD (AB=a) , M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC . Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K . Gọi I là trung điểm cảu đoạn thẳng MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E . Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N

1, Tứ giác MNKE là hình gì? Chứng minh

2, Cmr :\(AK^2=KC.KE\)

3, Cmr : Khi điểm M di chuyển trên cạnh Bc thì tam giác CME luôn có chu vi không đổi

4, Tia AM cắt đường thẳng CD tại G. Cmr : \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AG^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

Cho hình vuông ABCD. Trên BC lấy M, trên CD lấy N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.

a) CM : \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AB^2}\)

b) Biết \(\widehat{MAN}\)= 45⁰, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính số đo góc AMN.

c) Từ diểm O trong tam giác AIK, kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, KA, AI (P, Q, R lần lượt thuộc IK, KA, AI). Xác định vị trí diểm O để OP² + OQ² + OR² đạt GTNN.

1. Cho hình vuông ABCD. M là 1 điểm thay đổi trên cạnh BC, M không trùng với B và C. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AM, Ax cắt CD tại N, đường trung tuyến AI của tam giác AMN cắt CD ở K. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI ở G.

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MGNK là hình thoi;

b) AN²=NK.NC;

c) Chu vi tam giác MKC không đổi;

d) 3 điểm B,I,D thẳng hàng.

2. Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A=60^o. Một đường thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA, DA tương ứng ở M, N.

a) Chứng minh: BM.DN=a²

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính góc BKD.

3. Cho tam giác ABC, phân giác AD, CE. Trên AC lấy điểm K sao cho KD⊥CE. Trên AB lấy điểm M sao cho MD vuông góc với phân giác ngoài góc B. Tính AK biết AM=16, AD=8.